2011年高考一轮课时训练(理)11.2.1空间向量及其运算+答案解析(通用版)

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第二单元　空间向量及其应用第一节空间向量及其运算一、选择题1．在以下四个式子中正确的有(　　)a＋b·c，a·(b·c)，a(b·c)，|a·b|＝|a||b|A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．0个解析：根据数量积的定义，b·c是一个实数，a＋b·c无意义．实数与向量无数量积，故a·(b·c)错，|a·b|＝|a||b||cos〈a，b〉|，只有a(b·c)正确．答案：A2．已知a＝(1－t,1－t，t),b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是(　　)A.B.C.D.答案：C3．已知向量a＝(1,2,3),b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(　　)A．30°B．60°C．120°D．150°答案：C4．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则下列式子中与B1M相等的是(　　)A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC.a－b＋cD．－a－b＋c解析：B1M＝B1B＋BM＝B1B＋(BA＋BC)＝A1A－A1B1＋A1D1＝c－a＋b，故选A.答案：A5.已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝(　　)A.B．9C.D.答案：D二、填空题6．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝________.解析：由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，及(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0.两式相减得46a·b＝23|b|2，∴a·b＝|b|2.代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|＝|b|.∴cos〈a，b〉＝＝＝.∴〈a，b〉＝60°.答案：60°7．已知a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b垂直，则k的值为________．解析：(ka＋b)·(2a－b)＝(k－1，k,2)(3,2，－2)＝5k－7＝0，∴k＝.答案：8．下列命题中不正确的命题是________．①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；③若a、b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面．解析：易知只有①是正确的，对于④，若O∉平面ABC，则OA、OB、OC不共面，由空间向量基本定理知，P可为空间任一点，所以P、A、B、C四点不一定共面．答案：②③④三、解答题9．试用向量证明三垂线定理及其逆定理．已知：如右图所示，PO、PA分别是平面α的垂线和斜线，OA是PA在α内的射影，a⊂α，求证：a⊥PA⇔a⊥OA.证明：设直线a上非零向量a，要证a⊥PA⇔a⊥OA，即证a·AP＝0⇔a·AO＝0.∵a⊂α，a·OP＝0，∴a·AP＝a·(AO＋OP)＝a·AO＋a·OP＝a·AO.∴a·AP＝0⇔a·AO＝0，即a⊥PA⇔a⊥OA.10．已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面体．(1)化简AA′＋BC＋AB，并在图形中标出其结果；(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′的对角线BC′上的点，且BN∶NC′＝3∶1，设MN＝αAB＋βAD＋γAA′，试求α，β，γ之值．解析：(1)先在图形中标出AA′，为此，可取AA′的中点E，则AA′＝EA′.∵AB＝D′C′，在D′C′上取点F，使D′F＝D′C′.∴AB＝D′C′＝D′F.又BC＝A′D′，从而有AA′＋BC＋AB＝EA′＋A′D′＋D′F′＝EF，如右图所示．(2)MN＝MB＋BN＝DB＋BC′＝＋＝＋＝AB＋AD＋AA′，∴α＝，β＝，γ＝.